Teoría de conjuntos

Tomado de Wikipedia

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento omiembro del conjunto.¹ Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementostotalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Operaciones entre conjuntos.

• Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto de los elementos comunes a A y B.
• Diferencia: La diferencia del conjunto A con B, que se denota como A \ B, es el conjunto que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté enB.
• Complemento: El complemento de un conjunto A, escrito como A^∁, es el conjunto que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
• Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, denotada como A Δ B, es el conjunto con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se denota como A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.

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Referencia recomendada 

El capítulo 5 del libro Fundamentos de Lógica y Teoría de Conjuntos del profesor Alberto Jaramillo Atehortúa de la Universidad de Antioquia, explica de forma clara la teoría de conjuntos, en él el profesor utiliza demostraciones y ejercicios. Ir al libro